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最新考研数学一试题及

一、单项选择题

1. 设函数$f(x)=\int_{0}^{x}\sin t^2dt$，则当$x\to0$时，$f(x)$是$x$的

A. 低阶无穷小

B. 等价无穷小

C. 高阶无穷小

D. 同阶但非等价无穷小

C

2. 设函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，则函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处

A. 必有极值

B. 可能有极值，也可能无极值

C. 必有极大值

D. 必有极小值

B

3. 设$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$为正项级数，下列结论中正确的是

A. 若$\lim_{n\to\infty}na_n = 0$，则级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$收敛

B. 若存在非零常数$\lambda$，使得$\lim_{n\to\infty}na_n=\lambda$，则级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$发散

C. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}n^2a_n = 0$

D. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$发散，则存在非零常数$\lambda$，使得$\lim_{n\to\infty}na_n=\lambda$

B

4. 设$A$为$n$阶非零矩阵，$E$为$n$阶单位矩阵，若$A^3 = 0$，则

A. $E - A$不可逆，$E + A$不可逆

B. $E - A$不可逆，$E + A$可逆

C. $E - A$可逆，$E + A$可逆

D. $E - A$可逆，$E + A$不可逆

C

5. 设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$均为$n$维列向量，$A$是$m\times n$矩阵，下列选项正确的是

A. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s$线性相关

B. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s$线性无关

C. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s$线性相关

D. 若$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，则$A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_s$线性无关

A

A. $C = P^{-1}AP$

B. $C = PAP^{-1}$

C. $C = P^TAP$

D. $C = PAP^T$

B

7. 设随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，对给定的$\alpha\in(0,1)$，数$u_{\alpha}$满足$P\{X\gt u_{\alpha}\}=\alpha$，若$P\{|X|\lt x\}=\alpha$，则$x$等于

A. $u_{\frac{\alpha}{2}}$

B. $u_{1 - \frac{\alpha}{2}}$

C. $u_{\frac{1 - \alpha}{2}}$

D. $u_{1 - \alpha}$

C

8. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n(n\gt1)$独立同分布，且其方差为$\sigma^2\gt0$，令$Y=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，则

A. $Cov(X_1,Y)=\frac{\sigma^2}{n}$

B. $Cov(X_1,Y)=\sigma^2$

C. $D(X_1 + Y)=\frac{n + 2}{n}\sigma^2$

D. $D(X_1 - Y)=\frac{n + 1}{n}\sigma^2$

A

9. 设$f(x)$是连续函数，$F(x)$是$f(x)$的原函数，则

A. 当$f(x)$是奇函数时，$F(x)$必是偶函数

B. 当$f(x)$是偶函数时，$F(x)$必是奇函数

C. 当$f(x)$是周期函数时，$F(x)$必是周期函数

D. 当$f(x)$是单调增函数时，$F(x)$必是单调增函数

A

10. 设函数$y = f(x)$在区间$[-1,3]$上的图形为，则函数$F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt$的图形为，以下描述正确的是

A. 在$[-1,0]$上单调递减，在$[0,3]$上先增后减

B. 在$[-1,0]$上单调递增，在$[0,3]$上先减后增

C. 在$[-1,0]$上有极值，在$[0,3]$上无极值

D. 在$[-1,0]$上无极值，在$[0,3]$上有极值

A

二、多项选择题

1. 下列函数在其定义域内连续的有

A. $f(x)=\frac{1}{x}$

B. $f(x)=\sin x$

C. $f(x)=\begin{cases}x + 1,x\geq0\\x - 1,x\lt0\end{cases}$

D. $f(x)=\ln(1 + x)$

ABD

2. 设函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处具有二阶连续偏导数，且$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$，记$A = f_{xx}(x_0,y_0)$，$B = f_{xy}(x_0,y_0)$，$C = f_{yy}(x_0,y_0)$，则下列说法正确的有

A. 当$AC - B^2\gt0$且$A\gt0$时，$f(x_0,y_0)$是极小值

B. 当$AC - B^2\gt0$且$A\lt0$时，$f(x_0,y_0)$是极大值

C. 当$AC - B^2\lt0$时，$f(x_0,y_0)$不是极值

D. 当$AC - B^2 = 0$时，不能确定$f(x_0,y_0)$是否为极值

ABCD

3. 下列级数中收敛的有

A. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

B. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$

C. $\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$

D. $\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$

AC

4. 设$A$，$B$为$n$阶矩阵，且$A$与$B$相似，则

A. $\lambda E - A=\lambda E - B$

B. $A$与$B$有相同的特征值和特征向量

C. $A$与$B$都相似于一个对角矩阵

D. $|A| = |B|$

D

5. 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组中线性无关的有

A. $\alpha_1 + \alpha_2,\alpha_2 + \alpha_3,\alpha_3 + \alpha_1$

B. $\alpha_1 - \alpha_2,\alpha_2 - \alpha_3,\alpha_3 - \alpha_1$

C. $\alpha_1 + 2\alpha_2,2\alpha_2 + 3\alpha_3,3\alpha_3 + \alpha_1$

D. $\alpha_1, \alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$

ACD

6. 设随机变量$X$和$Y$的联合分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x)$和$F_Y(y)$，则下列关系正确的有

A. $F(x,+\infty)=F_X(x)$

B. $F(+\infty,y)=F_Y(y)$

C. $F(+\infty,+\infty)=1$

D. $F(-\infty,-\infty)=0$

ABCD

7. 设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$E[(X - 1)(X - 2)] = 1$，则

A. $\lambda = 1$

B. $E(X)=1$

C. $D(X)=1$

D. $P\{X = 1\}=\frac{1}{e}$

ABC

8. 设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，$X_1,X_2,\cdots,X_n$是来自总体$X$的样本，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_i$，$S^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$，则

A. $\overline{X}$与$S^2$相互独立

B. $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n - 1)$

C. $\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$

D. $\frac{\sum_{i = 1}^{n}(X_i-\mu)^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$

ABCD

9. 设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积，则下列说法正确的有

A. $f(x)$在$[a,b]$上有界

B. $f(x)$在$[a,b]$上的定积分与积分区间$[a,b]$有关

C. $f(x)$在$[a,b]$上的定积分与积分变量的符号无关

D. 若$f(x)\geq0$在$[a,b]$上成立，则$\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0$

ABCD

10. 设$L$为正向圆周$x^2 + y^2 = 2$在第一象限中的部分，则曲线积分$\int_{L}xdy - 2ydx$的值可能为

A. $\frac{3\pi}{2}$

B. $\frac{5\pi}{2}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

AB

三、判断题

1. 若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)$在点$x_0$处连续。

正确

2. 若级数$\sum_{n = 1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n = 1}^{\infty}b_n$都收敛，则级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(a_n + b_n)$也收敛。

正确

3. 若矩阵$A$和$B$相似，则它们的特征多项式相同。

正确

4. 若随机变量$X$和$Y$相互独立，则$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$。

正确

5. 设函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的两个偏导数都存在，则函数$z = f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微。

错误

6. 若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。

正确

7. 设总体$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，样本均值为$\overline{X}$，则$\overline{X}$服从正态分布$N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。

正确

8. 若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调递增，则$f(x)$在$[a,b]$上可积。

正确

9. 若$A$是可逆矩阵，则$A$的行向量组线性无关。

正确

10. 设随机变量$X$服从指数分布，则$X$的数学期望和方差相等。

错误

四、简答题

1. 简述函数可导、可微与连续之间的关系。

函数可导是指函数在某点处的导数存在。可微是指函数的增量可以表示为自变量增量的线性主部与高阶无穷小之和。连续是指函数在某点处极限值等于函数值。若函数在某点可导，则一定连续，但连续不一定可导；若函数在某点可微，则一定可导，且可微与可导在一元函数中是等价的。

2. 简述矩阵相似的定义及性质。

设$A$，$B$为$n$阶矩阵，如果存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = B$，则称矩阵$A$与$B$相似。相似矩阵具有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的秩。并且相似关系具有反身性、对称性和传递性。

3. 简述大数定律和中心极限定理的基本内容。

大数定律是指在大量重复试验中，随机事件的频率近似于它的概率。比如伯努利大数定律表明，当试验次数$n$充分大时，事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率。中心极限定理是指在一定条件下，大量相互独立随机变量的和近似服从正态分布。如独立同分布的中心极限定理，设随机变量序列相互独立且具有相同的期望和方差，当$n$充分大时，它们的和近似服从正态分布。

4. 简述格林公式及其应用。

格林公式是指设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成，函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，则有$\oint_{L}Pdx + Qdy=\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中$L$是$D$的取正向的边界曲线。格林公式可用于计算曲线积分，将曲线积分转化为二重积分计算，也可用于判断曲线积分与路径无关等问题。

五、讨论题

1. 讨论函数$f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},x\neq0\\0,x = 0\end{cases}$在$x = 0$处的连续性、可导性。

对于连续性，计算$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$，因为$\sin\frac{1}{x}$有界，$x\to0$，根据有界函数与无穷小的乘积为无穷小，所以$\lim_{x\to0}f(x)=0=f(0)$，函数在$x = 0$处连续。对于可导性，根据导数定义，$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}=\lim_{x\to0}\frac{x\sin\frac{1}{x}-0}{x}=\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}$，此极限不存在，所以函数在$x = 0$处不可导。

2. 讨论级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}$的敛散性。

当$p\gt1$时，$\sum_{n = 1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{n^p}\right|=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$，根据$p$级数的性质，此时$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$收敛，所以原级数