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公众号：考研数学基础

应用场景

准研究生们，你们好！

考研数学中，多元函数在约束条件下的最值问题也是常考题型之一。解决该类问题，我们通常用拉格朗日乘数法。本文不但介绍了该方法的步骤，还给出了例题，记忆口诀。相信阅读完本文，你一定能轻松掌握用拉格朗日乘数法求条件最值。

概念说明

1.拉格朗日乘数法的说明

文章开头给出的两个情形，都是通过构造拉格朗日函数，然后求导，最后根据实际问题求得最值。这种方法称为拉格朗日乘数法。即求多元函数的条件最值(带有约束条件)，要用拉格朗日乘数法。该方法引入的,μ 称为拉格朗日乘子，求偏导时也要把,μ当做变量看待。

2.为什么拉格朗日乘数法只能求最值呢?

实际上，拉格朗日乘数法的本质是：将带有约束条件的条件极值问题，转化成了无条件极值问题。并且，由于使用的是取极值的必要条件(参考文章开头构造方程组这一步)，所以求出来的是可能为极值的点。由于没有用充分性判断，因此只能结合实际问题中最值必然存在，来说明求出来的是最值。

所以，拉格朗日乘数法可以推广到求n元函数在m个约束条件下的最值问题，因为多元函数取极值的必要条件也可以推广到n元。

3.易错点

使用拉格朗日乘数法时，要先把约束条件等号右端非0项移到左端，保持等号右端为0。

4.带一个约束条件的条件最值问题

上题有两点需要我们注意：

• 构造拉格朗日函数前，首先要将约束条件x+y+z=2的等号右端化为0，即化为x+y+z-2=0的形式,然后再构造拉格朗日函数。
• 该题解答有一定的计算量，所以一定要多训练计算能力。我们没有解出的值，主要是算最值时用不到，同时也减少了计算量。

5.带有两个约束条件的条件最值问题

6.拉格朗日乘数法的主要应用场景

• 求多元函数在约束条件下的最值
• 求多元函数在有界闭区域的边界上的极值(最值)。

记忆方法

拉格朗日乘数法的主要内容我们总结为下面的口诀。

多元最值有约束：我们要求的是多元函数带有约束条件的最值。

想拉格朗日乘数：多元函数带有约束条件的最值怎么求呢？用拉格朗日乘数法。

几个约束加几元：使用拉格朗日乘数法时，有一个约束条件，构造拉格朗日函数时引入一个字母；有两个约束条件，构造拉格朗日函数时就引入两个字母...以此类推。且引入的这些字母都当做变量看待。

求导后解方程组：构造好拉格朗日函数后，分别对每个变量求偏导，然后令其为0。最后解方程组即可。

回眸一笑

无条件极值怎么求，你还记得吗？

如果你了然于胸，就为今天的收获开心地笑一个！

如果忘了，就赶快去看前面的文章，巩固一下吧！

考研杂谈

考研数学的复习中，很多题我们 想到解题思路，然后按部就班即可。而找到解题思路，既是重点也是难点。

比如中值定理的证明题，经常让人摸不着头脑！但对本节求条件最值这个问题而言，想到用拉格朗日乘数法是很容易的：一旦题设中让求多元函数的最值，且带有约束条件；或者是求多元函数在有界闭区域的边界上的极值(最值)，都可以直接用拉格朗日乘数法。之后，只需按照拉格朗日乘数法的步骤按部就班去做即可。

今日例句：

I am so sorry but something important came up and i have to cancel.