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公众号：考研数学基础

应用场景

准研究生们，你们好！

考研数学中，我们一开始学习了一元函数的极值，对二元函数而言，对应的就是无条件极值。无条件极值是指在没有约束条件的情况下，直接求函数的极值，这是相对于条件最值(有约束条件)来说的。本文介绍了求无条件极值的一般性的方法，相信阅读完本文，求无条件极值将难不倒你！

概念说明

1.取极值的必要条件：从一元到二元

一元函数取极值的必要条件就是我们所熟悉的费马定理。可以看到，一元函数和二元函数取极值的必要条件，几乎如出一辙。实际上，这个必要条件，可以推广到n元函数的情形。

该必要条件只说明了偏导数存在时，取极值要满足的的条件。而我们也要注意到，偏导数不存在的点也可能是极值点。

2.取极值的充分条件：从一元到二元

一元函数取极值的充分条件包括：第一充分条件，第二充分条件，第三充分条件，它们大多是用高阶导数来判断。二元函数也是类似的，也是用高阶导数(二阶)来判断。为了方便记忆，我们将二元函数取极值的充分条件和一元二次方程根的判别式做个对比:

观察上表，我们从下面几个方面来比较：

• 判别式：一元二次方程根的判别式为b^{2}-4ac,而二元函数取极值的充分条件中的字母变成了大写的A,B,C,所以相减的顺序也要反过来，即变成了AC-B^{2}(负负得正嘛!这样判别结果才能一样)。
• 判别结果：大于0，一元二次方程有根，二元函数在该点是极值；小于0，一元二次方程无根，二元函数在该点不是极值；等于0属于特殊情况，一元二次方程有两个相等的实数根，二元函数在该点判别法失效。

至于二元函数在该点是极值时，究竟是极大值还是极小值。我们可以类比一元函数判别极值的充分条件：一阶导等于0时，若二阶导大于0，为极小值；若二阶导小于0，为极大值。类似的，A大于0，为极小值；A小于0，为极大值。

也可以用个简单的例子f(x,y)=x^{2}+y^{2}在(0,0)处的情况来记忆。

此外需要注意：二元函数取极值的充分条件不可以推广到三元及其以上。

3.求极值的步骤：从一元到二元

求二元函数的无条件极值的步骤和一元函数一样，过程如下：

(1)找可疑点：偏导数为0的点，偏导数不存在的点。

找到可能为极值的点(可疑点)之后，我们认为可疑点之外的点一定不是极值点。

可疑点可能是极值点，也可能不是。

(2)用充分条件(或定义)来判断是否为极值，进一步判断是极大值，还是极小值。

4.经典例题

关于上面的例题，我们有以下说明：

• z(x,y)是由方程确定的隐函数。该方程将x换成y，y换成x，形式仍然不变。则说明方程具有轮换对称性。则它的解必然满足x=y。我们对比(1)(2)发现，对y求偏导数的结果只不过是将对x求偏导数后，将x换成y。
• 方程(1)(2)是两个方程求三个未知量x,y,z，往往要将解代入原方程才能求出最终解。
• 本题体现的是求极值的基本思路：找可疑点(判断极值的必要条件)，判断可疑点是否为极值(判断极值的充分条件)。

记忆方法

判断极值的必要条件，一元函数和二元函数思路是一样的。我们主要记忆二元函数取极值的充分条件。

我们结合上文中的2和一元二次方程根的判别式，总结如下口诀：

小写到大写，减数变被减：对于判别式，一元二次方程根的判别式为b^{2}-4ac,而二元函数取极值的充分条件中的字母从小写的a,b,c变成了大写的A,B,C,所以相减的顺序也要反过来，减数变成了被减数，即变成了AC-B^{2}。

为正皆肯定，为负皆不然：大于0，一元二次方程有根(肯定)，二元函数在该点是极值(肯定)；小于0，一元二次方程无根(不然，即否定的意思)，二元函数在该点不是极值(不然，即否定的意思)。

为0很特殊，方法不灵验：判别式等于0时，判别极值的方法失效，要另寻他法。

极大或极小，可类比一元：二元函数在该点是极值时，究竟是极大值还是极小值。我们可以类比一元函数判别极值的充分条件：一阶导等于0时，若二阶导大于0，为极小值；若二阶导小于0，为极大值。类似的，A大于0，为极小值；A小于0，为极大值。

回眸一笑

二元函数极值和最值的定义，你还记得吗？

如果你了然于胸，就为今天的收获开心地笑一个！

如果忘了，就赶快去看前面的文章，巩固一下吧！

考研杂谈

考研数学的复习中，我们一定要学会将所学的知识都联系起来，因为考试时，一道题往往会考察多个知识。同样的，对于新的知识点，理解记忆时，也可以将它们和我们熟悉的知识联系起来。如本文讲到的二元函数取极值的充分条件，将它和一元二次方程根的判别式联系在一起后，通过对比，我们会发现它们是如此的相似！ 记住它自然就不再话下了。可见，联系具有普遍性，诚不欺我啊！

今日例句：

It is no use trying to drown your sorrows in drink.