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欢迎关注斐之学堂，一起学习自动控制原理，探究控制系统的数学模型。

为了让同学们更好地自学和复习自动控制原理课程，特推出自动控制原理课件对照讲解版，以期通过课件和内容讲解相结合，帮助大家更好地理解课程的主要内容。

本讲主要讲解自动控制原理之控制系统的数学模型，控制系统的数学模型总共安排4讲，分别为时域模型、复数域模型、结构图和信号流图、数学模型的数学基础。本节课主要对自动控制系统的时域模型进行讲解。

第二章控制系统数学模型的目的与要求是：

1.能够用微分方程描述物理系统的动态特性；能够通过泰勒级数展开来实现模型的线性近似。

2.理解并掌握拉普拉斯变换；掌握方框图模型及其在控制系统分析中的作用。

3.理解数学建模在控制系统设计过程中的重要作用。

第二章控制系统数学模型的重点与难点是：培养学生能够利用传递函数表示子系统和元件的输入-输出关系能力，以及将方框图和信号流图模型应用到分析和设计电气工程领域复杂工程问题的能力。

为什么要建立系统的数学模型呢？

理解和控制复杂系统，必须获得系统的定量数学模型。

研究与分析一个系统，不仅要定性地了解系统的工作原理及其特性，更要定量地描述系统的动态性能，揭示系统的结构参数与动态性能的关系，要求建立数学模型。

建立系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。

什么是控制系统的数学模型？

数学模型：描述系统动态特性的数学表达式。

时域数学模型的表现形式主要有，微分方程、状态方程、差分方程等。在连续系统中，用微分方程去描述时域模型。在离散系统中，用差分方程去描述时域模型。在现代控制状态空间下，采用状态方程去描述数学模型。

数学模型在复域的表现形式主要有传递函数和z传函。 连续系统用传递函数去表示，离散系统用脉冲传递函数去表示复数域模型。 结构图和信号流图也属于复域数学模型的一种。

频率域内数学模型用系统的频率特性来描述。

数学模型建立的一般方法，有分析法和实验法。所谓的分析法，就是根据系统或元件所遵循的有关定律来建模，有物理规律、机械的规律、电网络的规律等等。在电网络建模中，我们通常用KVL电压定律，KCL电流定律，欧姆定律等建立电网络的模型。

所谓的实验法，就是通过输入输出实验，根据实验数据整理拟合，进而分析得出系统的数学模型，现已发展为一门独立的学科，叫做系统辨识。

分析法也叫白箱法，实验法也叫做黑箱法。

需要强调的是，描述一个系统，可以有数学模型，也可以有物理模型、关系模型、结构模型、仿真模型等，模型的应用，是为了便于分析系统，而不是为了单纯地建立模型。

下面，我们看一下如何采用分析法建立系统的数学模型。 根据系统的本质动态特性，根据系统所表现的规律特征，对其进行描述，写出对应的微分方程或微分方程组，对方程组进行拉普拉斯变换，从而将系统从时域转换到复域，简化拉普拉斯变换表达式，进行求解，得出系统的数学模型。

大家可以看出，系统数学模型的建立，还是相对比较复杂的，其复杂性，会随着系统本身的复杂性升级。

在求解过程中，如果表示系统的微分方程具有非线性，并且满足线性化条件，就必须对微分方程进行线性化，线性化后，再进行相应的简化求解，因为拉普拉斯变换只适合于线性定常系统。如果系统为本质非线性，则不能进行线性化处理，也就不能采用拉普拉斯变换的方法，必须采用非线性控制系统的研究方法。

如何具体分析研究动态系统呢？我们看以下步骤：

定义系统及其元件；确定必要的假设条件，并推导数学模型；列写描述该模型的微分方程或微分方程组；求解微分方程或微分方程组，得到所求输出变量的解；检查假设条件和所得到的解；如果必要，重新分析和设计系统。

我们可以看出，分析研究动态系统和我们刚才讲的机理法建模是一致的。一般情况下，为了推导系统的数学模型，需要一些假设条件，比如分析电网络时，采用集总假设条件，进行受力分析时，假设系统是一个质点，进行电机分析时，忽略其气隙影响等。分析完系统以后，如果假设条件不满足，需要重新分析和设计系统，使其导出的模型与真正的系统相匹配。

连续系统的微分方程的一般形式如下，若所有系数都不是输入、输出及其各阶导数的函数，则微分方程表示的系统为线性系统；否则，系统为非线性系统。对线性系统，若系数为常数则为线性定常系统。我们需要搞清线性与非线性，定常与时变的关系，能够快速判断系统到底属于哪一种。

需要注意的是，有些系统，如果无法用肉眼直接看出线性与非线性，对系统模棱两可时，要根据线性系统与非线性系统的本质区别进行判断，线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理，通过引入叠加定理进行判断。

列写微分方程的一般方法：

1、确定系统的输入量和输出量。注意：输入量包括给定输入量和扰动量。

2、按信息传递顺序，从系统输入端出发，根据各变量所遵循的物理定律，列写系统中各环节的动态微分方程。注意：负载效应，非线性项的线性化。

3、消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。

4、整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。

以下是一些典型的例题，结合上述方法完成微分方程的列写，搞清系统的阶次、相似系统、微分方程线性化等问题，通过多加练习，掌握时域建模的方法。

线性微分方程的求解是一个难点。求解方法主要有两种，常规的求解方法和拉普拉斯变换法。常规求解方法又有通解加特解的方法，以及零输入响应加零状态响应的方法。同学们可以通过具体的例题掌握线性微分方程的求解方法。对于微分方程求解薄弱的同学，需要通过高等数学，电路等基础课程，进一步掌握具体方法。

线性微分方程的解有齐次解和特解，齐次解代表系统的固有运动，特解代表系统的受迫运动。齐次解的运动形式取决于特征根，由于微分方程的结构参数只取决于系统本身的结构和参数，所以齐次解的运动形式只与系统本身有关，这些运动形式是系统的固有运动，当初始状态非零或者有输入信号时，这些运动形式就会被激发出来。特解的运动形式与输入量的形式一致，它是外界输入作用于系统引起的受迫运动。

非线性方程的线性化问题

线性化的条件：

☞系统工作在正常的工作状态，有一个稳定的工作点；

☞在运行过程中偏离且满足小偏差条件；

☞在工作点处，非线性函数各阶导数均存在，即函数属于单值、连续、光滑的非本质非线性函数。

线性化的方法：

1. 确定预定工作点；

2. 在工作点附近将非线性方程展开成Taylor级数形式；

3. 忽略高阶小项；

4. 表示成增量化方程的形式。

考虑到非线性微分方程的线性化问题，列写系统时域模型的具体步骤为：

☞ 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分方程；

☞ 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作状态；

☞ 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若符合就进行线性化处理；

☞ 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项；

☞ 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系统总输入和总输出增量的线性化方程。

关于线性化的几点说明：

① 线性化方程中的参数与选择的工作点有关， 在进行线性化时，应首先确定系统的静态工作点；

② 实际运行情况是在某个平衡点附近，且变量只能在小范围内变化；

③ 若非线性特性是不连续的不能采用上述方法；

④ 线性化以后得到的微分方程，是增量微分方程。